Правильное написание зависит от контекста:

Слитное написание: “неолимпийский”
Если слово обозначает что-то, относящееся к неолимпийским видам спорта (то есть видам, не входящим в программу Олимпийских игр), пишется слитно.
Пример: Неолимпийские виды спорта, такие как кикбоксинг и сквош.
Почему слитно? Прилагательное приобретает новое значение, и “не” становится частью слова, образуя единое понятие.

Раздельное написание: “не олимпийский”
Если употребляется как отрицание (“не является олимпийским”), то пишется раздельно.
Пример: Этот спорт пока не олимпийский.
Почему раздельно? Частица “не” используется для отрицания, а слово сохраняет свое основное значение.

Для проверки стоит задать вопрос: “Является ли это слово цельным понятием или в нем подчеркивается противопоставление?”