Да, сирота может получить медицинскую книжку, но процесс может немного отличаться в зависимости от возраста, статуса опеки и региона проживания.

Алгоритм получения медкнижки для сироты:
Документы. Обычно для оформления медкнижки требуются:

паспорт (или другой документ, удостоверяющий личность);
СНИЛС;
направление на медосмотр (если требуется для работы).
Если сирота несовершеннолетний, документы может оформить законный представитель (опекун, сотрудник детского дома).

Выбор медучреждения. Медицинскую книжку можно оформить:

в государственных поликлиниках (если есть договорённость с работодателем);
в лицензированных медцентрах, которые проводят профосмотры.
Прохождение медицинского осмотра. Обследование включает осмотр врачей (терапевта, дерматолога и др.), анализы и, возможно, флюорографию.

Оформление и заверение. После обследования медицинская книжка оформляется и регистрируется в Роспотребнадзоре.

Дополнительные моменты:
Если сирота ещё не получил паспорт (до 14 лет), могут потребоваться дополнительные документы, например, свидетельство о рождении.
Если сирота находится под опекой государства, ему могут помочь социальные службы.
В некоторых регионах предусмотрены льготы или бесплатное оформление медкнижки для сирот.