Оба варианта встречаются в русском языке, но более естественным и грамматически правильным считается «Пройдет год за годом».

🔹 Почему?
Фраза «год за годом» имеет значение последовательности течения времени («один год сменяет другой»). В этом выражении «год» стоит в единственном числе, и логично согласовать с ним глагол в единственном числе: «пройдет».

🔹 Можно ли сказать «пройдут год за годом»?
Такой вариант звучит менее естественно, потому что «год за годом» не подразумевает множественное число годов, а указывает на их сменяемость. Однако, если бы существительное было во множественном числе («годы»), тогда возможно: «пройдут годы за годами».

💡 Вывод:
Лучший вариант – «Пройдет год за годом».