В предложении “Вечером с высоких берёз тетерева начали нырять” сказуемое является составным глагольным.

Давайте разберем предложение:

Тетерева – подлежащее.
Начали нырять – сказуемое.
Составное глагольное сказуемое состоит из вспомогательного глагола и инфинитива основного глагола:

Начали – вспомогательный глагол.
Нырять – инфинитив основного глагола.
Таким образом, вид сказуемого в данном предложении – составное глагольное.