Как решить уравнение – чему будет равен ∫x²–1/(x²+x+1)²dx?

Один комментарий на ««Как решить уравнение – чему будет равен ∫x²–1/(x²+x+1)²dx?»»

1. 

   Жеэр

   ответил на вопрос

   16 октября, 2024

   Для решения данного интеграла необходимо разложить дробь на простейшие дроби.

   x²-1 = (x-1)(x+1)

   (x²+x+1)² = (x²+x+1)(x²+x+1) = (x²+x+1)(x²+x+1)

   Теперь разложим дробь на простейшие дроби:

   1/(x²+x+1)² = A/(x²+x+1) + B/(x²+x+1)²

   A(x²+x+1) + B = 1

   A = 1, B = -1

   Теперь подставим найденные значения A и B в интеграл:

   ∫(x²-1)/(x²+x+1)²dx = ∫(1/(x²+x+1) – 1/(x²+x+1)²)dx

   = ∫(1/(x²+x+1))dx – ∫(1/(x²+x+1)²)dx

   = ∫(1/(x²+x+1))dx – ∫(1/(x²+x+1)dx/(x²+x+1))

   = ∫(1/(x²+x+1))dx – ∫(A/(x²+x+1) + B/(x²+x+1)²)dx

   = ∫(1/(x²+x+1))dx – ∫(1/(x²+x+1))dx – ∫(-1/(x²+x+1)²)dx

   = – ∫(1/(x²+x+1)²)dx

   Теперь можно проинтегрировать полученное выражение.

   Ответить